Bývalé působiště: Næsby (2016), HB Køge (2016–2018), SønderjyskE (2018–2021)
Alexander Bah začal svou fotbalovou kariéru v klubu Aarslev Boldklub, následně se přesunul do mládežnické akademie FC Fyn. Klub bohužel v roce 2013 zbankrotoval, a tak Bah odešel do druholigového Næsby Boldklub, kde se na jaře 2016 probojoval do prvního týmu.
Už v létě 2016 si ho vyhlédlo HB Køge a v listopadu 2017 byl jmenován talentem roku svého týmu v rámci Danske Bank Award. Za Køge odehrál ve druhé lize 66 utkání, ve kterých vstřelil devět gólů a přidal stejný počet asistencí.
V srpnu 2018 přestoupil Bah do prvoligového Sønderjyske, kde nastupoval nejčastěji na pravé záloze jako křídelní obránce. Během dvou a půl roku v dánské nejvyšší soutěži nastoupil do 73 zápasů, vstřelil osm branek a asistoval u jedenácti gólů. Sezona 2020/2021 pro něj byla zatím gólově nejproduktivnější, ve dvanácti ligových utkáních se prosadil čtyřikrát.
V roce 2020 si také odbyl svou premiéru v národním týmu, kde se mu podařilo skórovat do sítě Švédska při vítězství 2:0.
Ve své premiérové sezoně v sešívaném dresu vyhrál double a postoupil s týmem do čtvrtfinále Evropské ligy.